Алгебраические выражения

Алгебраические выражения - это сочетание букв, знаков и чисел в математических операциях . Обычно буквы представляют неизвестные величины и называются переменными или неизвестными. Алгебраические выражения позволяют нам переводить выражения математического языка с обычного языка. Алгебраические выражения возникают из обязательства переводить неизвестные значения в числа, которые, как мы указывали ранее, представлены буквами. Раздел математики, ответственный за изучение этих выражений, в которых появляются цифры и буквы, а также знаки математических операций, является алгебра.

Алгебраические выражения

Что такое алгебраические выражения

Как упоминалось ранее, эти операции являются не чем иным, как комбинацией букв, цифр и знаков, которые впоследствии используются в различных математических операциях. В алгебраических выражениях буквы имеют поведение чисел, и когда они проходят этот курс, используются от одной до двух букв. Независимо от того, какое у вас выражение, первое, что вам нужно сделать, это упростить, что достигается с помощью свойств операций, которые эквивалентны числовым свойствам. Чтобы найти числовое значение алгебраической операции, буква должна быть заменена на определенное число.

С этими выражениями можно сделать много упражнений, которые будут выполнены в этом разделе, чтобы улучшить понимание предмета. Примеры алгебраических выражений:

  • (Х + 5 / Х + 2) + (4Х + 5 / Х + 2)

    Х + 5 + 4Х + 5 / Х + 2

    5X + 10 / X + 2

    5 (Х + 2) / Х + 2

    5

  • (3 / Х + 1) - (1 / Х + 2)

    3 (Х + 2) - Х - 1 / (Х + 1) * (Х + 2)

    2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2

Алгебраический язык

Алгебра - это часть математики, которая изучает отношения между числами, буквами и знаками. Следовательно, алгебраический язык - это язык, который использует символы и буквы для представления чисел. Этот язык возник в мусульманской цивилизации в период Аль-Хорезими в средние века. Его основная функция заключается в создании и структурировании языка, который помогает обобщать различные операции, которые имеют место в арифметике, где происходят только числа и их элементарные арифметические операции (+ -x%).

Этот тип языка был впервые введен французским математиком Франсуа Вьетом, который считается отцом алгебры, выраженной словами. Алгебраический язык стремится создать и спроектировать язык, который помогает обобщать различные операции, которые происходят в арифметике, где используются только числа и их основные математические операции: сложение (+), вычитание (-), умножение (х) и деление (/).

Алгебраический язык характеризуется своей точностью, поскольку он гораздо более конкретен, чем числовой язык. Через это высказывания можно выразить кратко. Пример: набор кратных 3 равен (3, 6, 9, 12 ...) и выражается 3n, где n = (1, 2, 3, 4 ...).

Позволяет вам выразить неизвестные числа и выполнять математические операции над ними . Пример: сумма двух чисел выражается так: a + b. Поддерживает выражение отношений и общие числовые свойства. Пример: коммутативное свойство выражается так: axb = bxa . При написании на этом языке неизвестными величинами можно манипулировать с помощью простых символов для написания, что позволяет упростить теоремы, сформулировать уравнения и неравенства и изучить способы их решения.

«> Загрузка ...

С другой стороны, алгебраическим является тот, который представляет собой набор чисел и букв, которые объединяются со знаками арифметических операций и состоит из коэффициентов, показателей и основания. Пример: 7 × 4. Где 7 - коэффициент, x - основание, а 4 - прежний числовой оратор . Коэффициент представляет собой числовое значение или букву, расположенную слева от базы, и указывает, сколько раз база должна быть добавлена ​​или вычтена, в зависимости от знака, который она имеет. Пример: 7 × 4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4

Числовой показатель - это количество, которое находится в правом верхнем углу базы, и указывает, сколько раз база принимается за продукт. Пример: 2 × 3 = 2 (х) (х) (х) . Числовое значение алгебраической операции - это число, которое возникает после замены букв цифрами для продолжения указанных операций.

Алгебраические знаки и символы

В алгебре символы и знаки используются в теории множеств, и они составляют или представляют уравнения, ряды, матрицы и т. Д. Буквы выражаются или именуются как переменные, поскольку одна и та же буква используется в других задачах, и ее значение находит разные переменные. Некоторые из классификационных алгебраических выражений включают в себя:

выражение использование
С или К.Они используются в постоянных терминах.
А, В, С.Они используются для выражения наиболее известных величин в алгебре.
X, Y, Z.Они используются для выражения неизвестных в математических операциях.
Н.Это дает выражение любому числу.
>Больше чем.
<Меньше чем.
Больше или равно.
Меньше или равно.
=Равенство - равенство.
Не равно
Да только да

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь - это та, которая представлена ​​отношением двух полиномов, которые показывают поведение, подобное числовым дробям. В математике мы можем оперировать такими дробями путем умножения и деления. Следовательно, мы должны выразить, что алгебраическая дробь представлена ​​частным от двух алгебраических выражений, где числитель - это дивиденд, а знаменатель - это делитель.

Среди свойств алгебраических дробей мы можем выделить, что если знаменатель делится или умножается на то же количество, отличное от нуля, дробь не будет изменена.

Упрощение алгебраической дроби состоит в том, чтобы преобразовать ее в дробь, которая больше не может быть уменьшена, что необходимо для разложения полиномов, составляющих числитель и знаменатель.

Мы можем классифицировать эти дроби на следующие типы: эквивалентные, простые, правильные, неправильные, составленные из числителя или нулевого знаменателя. Тогда мы увидим каждого из них.

эквиваленты

Когда перекрестное произведение одинаково, то есть когда фракции фракций одинаковы. Например, из этих двух алгебраических дробей: 2/5 и 4/10 будут эквивалентны, если 2 * 10 = 5 * 4

простой

Это те, в которых числитель и знаменатель представляют целочисленные рациональные выражения.

собственный

Это простые дроби, в которых числитель меньше знаменателя.

непригодный

Это простые дроби, в которых числитель равен или больше знаменателя.

состоящий

Они образованы одной или несколькими дробями, которые могут быть расположены в числителе, знаменателе или в обоих.

Нулевой числитель или знаменатель

Это происходит, когда значение равно 0. В случае доли 0/0 оно будет неопределенным.

При использовании алгебраических дробей для выполнения математических операций мы должны принимать во внимание некоторые характеристики операций с числовыми дробями, например, для начала необходимо найти наименьшее общее кратное, когда знаменатели имеют разные цифры. Как при делении, так и при умножении операции выполняются и выполняются так же, как и при работе с числовыми дробями, поскольку их следует заранее по возможности упростить.

многочлены

Алгебраические выражения

Когда мы говорим о полиноме, мы имеем в виду алгебраическую операцию сложения, вычитания и упорядоченного умножения, состоящую из переменных, констант и показателей . В алгебре многочлен может иметь более одной переменной (x, y, z), константы (целые или дробные числа) и показатели степени (которые могут быть только положительными целыми числами). Полиномы состоят из конечных членов. Каждый термин является выражением, которое содержит один или несколько из трех элементов, с которыми они сделаны: переменные, константы или показатели. Например: 9, 9x, 9xy - все термины. Другой способ определения терминов состоит в том, что они разделяются сложением и вычитанием.

Чтобы решить, упростить, добавить или вычесть многочлены, необходимо сопоставить термины с теми же переменными, что и, например, термины с x, термины с «y» и термины, которые не имеют переменных. Кроме того, важно посмотреть на знак перед термином, который будет определять, добавлять ли, вычитать или умножать. Термины с одинаковыми переменными группируются, добавляются или вычитаются.

Типы полиномов

Количество слагаемых, которые имеет многочлен, будет указывать на то, к какому типу он относится, например, если существует многочлен с одним членом, то перед вами стоит одночлен . Ярким примером этого является один из полиномов упражнения (8xy) .

Существует также двухчленный полином, который называется биномом и идентифицируется следующим примером: 8xy - 2y.

Наконец, многочлен трех слагаемых, которые известны как триномы и идентифицируется одним из полиномов упражнений 8xy - 2y + 4 . Триномиалы ​​- это тип алгебраического выражения, образованного суммой или разностью трех слагаемых или одночленов (аналогичных одночленов).

Также важно говорить о степени полинома, потому что, если она является единственной переменной, она является наибольшим показателем. Степень многочлена с более чем одной переменной определяется членом с наивысшим показателем. Также важно говорить о полиноме Тейлора, теореме, опубликованной в 18 веке Бруком Тейлором, местным математиком из Великобритании, однако она не была открыта до конца прошлого века Джеймсом Грегори, математиком и астрономом из Шотландия.

Его использование при изучении функции полиномиальных приближений можно найти в среде, в которой они дифференцированы, кроме того, используются оценки погрешностей.

Сложение и вычитание полиномов

Добавление полиномов подразумевает объединение членов. Подобные термины относятся к мономам, имеющим одинаковую переменную, или переменным, возведенным в одинаковую степень.

Существуют разные способы вычисления с помощью полиномов, например, сумма полиномов может быть выполнена двумя различными способами: по горизонтали и по вертикали .

  • Сумма полиномов по горизонтали используется для выполнения операций по горизонтали, что стоит избыточности, но сначала записывается полином, а затем в той же строке. После этого другой многочлен записывается для добавления или вычитания, и, наконец, аналогичные термины группируются.
  • Вертикальная полиномиальная сумма, с другой стороны, достигается путем записи первого полинома упорядоченным образом. Если оно неполное, важно оставить пробелы в пропущенных терминах свободными. Затем следующий многочлен записывается чуть ниже предыдущего, таким образом, термин, аналогичный приведенному выше, будет ниже. Наконец каждый столбец добавлен.

Важно добавить, что для добавления двух полиномов необходимо добавить коэффициенты членов одной и той же степени. Результатом сложения двух членов одинаковой степени является еще один член той же степени.

Если какой-либо из степеней отсутствует, его можно дополнить 0. И, как правило, они упорядочены от самой высокой до самой низкой степени.

Как упомянуто выше, чтобы сделать сумму двух полиномов, вам нужно только добавить члены той же степени. Свойства этой операции состоят из:

  • Ассоциативные свойства, в которых сумма двух полиномов решается путем сложения коэффициентов, сопровождающих x, которые имеют одинаковую степень.
  • Коммутативное свойство, которое изменяет порядок суммы и результат не может быть выведен. Нейтральные элементы, у которых все их коэффициенты равны 0. Когда к нейтральному элементу добавляется многочлен, результат равен первому.
  • Наконец, противоположное свойство. формируется полиномом, который имеет все обратные коэффициенты к коэффициентам добавленного полинома. таким образом, при выполнении операции сложения результатом является нулевой полином.

Что касается вычитания полиномов (операции с полиномами), необходимо сгруппировать мономы по характеристикам, которыми они обладают, и начать с упрощения тех, которые были похожи. Операция выполняется путем добавления обратного вычитания к вычитанию.

Другой эффективный способ продолжить вычитание многочленов, это написать противоположность каждого многочлена ниже другого. Таким образом, подобные мономы остаются в столбцах, и мы приступаем к их добавлению. Независимо от того, какой метод выполняется, в конце концов, результат всегда будет одинаковым, конечно, если все сделано правильно.

Умножение полиномов

Умножение мономов или упражнений между полиномами и мономами - это операция, выполняемая для нахождения результирующего произведения, между мономом (алгебраическим выражением, основанным на умножении числа и буквы, возведенной в целое число и положительный показатель степени), и другой Выражение, если это независимый термин, другой моном или даже многочлен (конечная сумма мономов и независимых членов). Однако, как и почти во всех математических операциях, полиномиальное умножение также имеет ряд шагов, которые необходимо выполнить при решении предложенной операции, которые можно обобщить в следующих процедурах:

  • Первый шаг, который следует выполнить при умножении монома на другое выражение, состоит в умножении знаков каждого члена.
  • Затем значения коэффициентов умножаются, и значение, найденное в мономах или литералах, которые находятся между членами, приписывается значению, найденному в этом умножении.
  • Они перечислены в алфавитном порядке.
  • Наконец, показатели, которые расположены в литералах одной и той же базы, добавляются. Результат отмечается показателем соответствующего результата.

Отдел полиномов

Алгебраические выражения

Также известен как метод Руффини . Это позволяет нам делить многочлен на бином, а также позволяет нам найти корни многочлена, чтобы разделить его на биномы. Другими словами, этот метод позволяет разделить или разложить алгебраический многочлен степени n на алгебраический бином, а затем на другой алгебраический многочлен степени n-1. И чтобы это было возможно, необходимо знать или знать хотя бы один из корней единственного полинома, чтобы разделение было точным.

Это эффективный метод деления полинома на бином вида x - r . Правило Руффини является частным случаем синтетического деления, когда делитель является линейным фактором.

Метод Руффини был описан итальянским математиком, профессором и врачом Паоло Руффини в 1804 году, который помимо изобретения знаменитого метода, называемого правилом Руффини, который помогает находить коэффициенты результата фрагментации многочлена с помощью бином; Он также открыл и сформулировал эту технику по приближенному вычислению корней уравнений.

Как всегда, когда дело доходит до алгебраической операции, правило Руффини подразумевает ряд шагов, которые необходимо выполнить, чтобы достичь желаемого результата, в данном случае: найти частное, а остальное присуще делению любого типа полинома и бином формы x + r.

Во-первых, при запуске операции необходимо проверить выражения, чтобы проверить или определить, действительно ли они рассматриваются как полиномы и биномы, которые соответствуют форме, ожидаемой методом правила Руффини.

После проверки этих шагов мы переходим к упорядочению полинома (в порядке убывания). После этого шага учитываются только коэффициенты полиномиальных членов (с точностью до независимых), размещая их в ряд слева направо. Некоторые пробелы оставлены для необходимых членов (только в случае неполного полинома). Знак галеры размещается слева от ряда, состоящего из коэффициентов дивидендного полинома.

С левой стороны камбуза мы приступаем к размещению независимого члена бинома, который теперь является делителем, а его знак обратен. Независимость умножается на первый коэффициент многочлена, таким образом регистрируясь во втором ряду ниже первого. Затем второй коэффициент и произведение мономиального независимого члена вычитаются из первого коэффициента.

Независимый член бинома умножается на результат предыдущего вычитания . Но также он размещен во втором ряду, что соответствует четвертому коэффициенту. Операция повторяется до тех пор, пока не будут выполнены все условия. Третья строка, полученная на основе этих умножений, берется как частное, за исключением последнего члена, который будет рассматриваться как остальная часть деления. Результат выражается, сопровождая каждый коэффициент переменной и соответствующую ей степень, начиная выражать их в меньшей степени, чем они изначально имели.

1. Теорема об остальном

Это практический метод, используемый для деления многочлена P (x) на другой, чья форма равна xa ; в котором получается только значение остального. Чтобы применить это правило, выполните следующие шаги. Запишите полиномиальный дивиденд без завершения или упорядочения, затем замените переменную x в дивиденде противоположным значением независимого члена делителя. И, наконец, операции решаются в совокупности.

Теорема об остатках - это метод, с помощью которого мы можем получить остаток от алгебраического деления, но в котором деление не требуется .

Это позволяет нам узнать остаток деления многочлена p (x) на другой, например, вид xa. Из этой теоремы следует, что многочлен p (x) делится на xa, только если a является корнем многочлена, только тогда и только тогда, когда p (a) = 0. Если C (x) является частным и R (x) является остатком от деления любого многочлена p (x) на бином, который был бы (xa), числовое значение p (x), для x = a, равно остальной части его деления на xa. Тогда мы будем говорить, что: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a)

В общем, чтобы получить остаток от деления на Xa, удобнее применить правило Руффини, чем заменить x. Поэтому теорема об остатках является наиболее подходящим методом решения задач.

Корни полиномов

Корни полинома - это определенные числа, делающие полином равным нулю. Можно также сказать, что полные корни полинома целых коэффициентов будут делителями независимого члена. Когда мы решаем полином, равный нулю, мы получаем корни полинома как решения.

В качестве свойств корней и множителей многочленов можно сказать, что нули или корни многочлена являются делителями независимого члена, принадлежащего многочлену.

Тогда, например, каждому корню типа x = a соответствует бином типа (xa) . Можно выразить многочлен в множителях, если мы выражаем его как произведение всех биномов типа (xa), которые соответствуют полученным корням x = a . Следует принять во внимание, что сумма показателей степени биномов равна степени многочлена, также следует учитывать, что любой многочлен, не имеющий независимого члена, признается в качестве корня x = 0, в противном случае он будет принят как фактор х .

Мы будем называть полином «простым» или «неприводимым», когда нет возможности его разложить.

Чтобы углубить предмет, мы должны иметь четкое представление о фундаментальной теореме алгебры, которая утверждает, что достаточно, чтобы многочлен с непостоянной переменной и комплексными коэффициентами имел столько же корней, сколько его степень, поскольку корни имеют свои кратности. Это подтверждает, что любое алгебраическое уравнение степени n имеет n комплексных решений . Многочлен степени n имеет максимум n действительных корней.

Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами непрерывно представляются в парах, многочлен нечетной степени, имеющий минимально действительный корень. Мы также должны помнить, что многочлен может не иметь реальных корней. Полином, имеющий реальные и четкие корни, является одним из самых простых случаев, которые мы можем найти.

В случае, когда полиномиальные коэффициенты являются сложными, комплексные корни не обязательно будут связаны. Полиномы могут иметь сложные корни и соответствующие им сопряженные. Например, полином: имеет сложный корень и соответствующий ему сопряженный. Чтобы вычислить сложный корень, его реальная часть должна быть определена, поскольку мнимая часть, меньшая нуля, достигается из его модуля и его реальной части.

Мы знаем, что число «а», например, является корнем многочлена P (x), если P (a) = 0 . Для оставшейся теоремы, если «a» является корнем многочлена P (x), он скажет, что P (x) делится на x - a, так как остаток от деления P (x) на x равен нулю. Обычно эти значения называются x1, x2, x3 и т. Д.

Эта теорема применяется для проверки того, какое из значений дает нулевой остаток. Метод Руффини также используется, чтобы найти корни многочлена и, таким образом, перейти к разложению биномов вида (x - a), являющегося «a» целым числом.

Примеры и упражнения

Алгебраические выражения

В этом разделе, помимо добавления упражнений ко всем математическим операциям, упомянутым в этом посте, особое внимание будет уделено примерам умножения монома либо на независимый термин (произведение мономов), либо на другой моном.

В первом случае в элементарной алгебре говорится, что значение независимого члена должно быть умножено на коэффициент монома, таким образом, можно получить произведение, которое приписывается литеральному моному как единое целое. Пример: 3. 4xy2 = 12xy2

Когда умножение монома выполняется на другой моном (мономиальное произведение), возможно, что оба члена, участвующие в умножении, будут определены как мономы. В этом конкретном случае, как ранее указывалось в теоретических источниках, знаки должны быть умножены плюс значение коэффициентов, которые имеют место в терминах. Полученный продукт должен быть записан в результате, и после этого присваиваются боковые значения, наблюдаемые в терминах умножения, и затем добавляются показатели тех, которые получаются из той же базы. Пример: 3 × 3 4 × 2 = (3, 4) x3 + 2 = 12 × 5

Как только это будет объяснено, мы переходим к показу серии решенных упражнений, связанных с алгебраическими выражениями, сложением полиномов, вычитанием полиномов, мономиальными упражнениями и другими.

1. Алгебраические выражения упражнения:

  • X ^ 2 - 9 / 2X + 6

    (Х + 3) * (Х - 3) / 2 * (Х + 3)

    X - 3/2

  • Х ^ 2 + 2Х + 1 / Х ^ 2 - 1

    (Х + 1) ^ 2 / (Х + 1) * (Х - 1)

    Х + 1 / Х - 1

2. Сумма полиномов

  • 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
  • P (x) = 2 × 2 + 5x-6

    Q (x) = 3 × 2-6x + 3

    P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6+ 3) = 5 × 2-х-3

3. Вычитание полиномов

P (x) = 2 × 2 + 5x-6

Q (x) = 3 × 2-6x + 3

P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x + 3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9

4. Деление полиномов

  • 8 лет / 2 года = (8/2). (Год / год) = 4
  • 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 и
  • 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
  • -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v

5. алгебраических выражений (биномиальный квадрат)

  • (х + 3) 2 = х 2 + 2 • х • 3 + 32 = х 2 + 6 х + 9
  • (2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
  • 6. Теорема об отдыхе

    (x4 - 3 × 2 + 2) :( x - 3)

    R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

    Часто задаваемые вопросы об алгебраических выражениях

    Что такое алгебраические выражения?

    Это набор букв, символов и цифр, используемых в математических операциях.

    Читайте больше ионов

    Какие операции выполняются с полиномами?

    Полиномы складываются, вычитаются, умножаются и делятся. Различные методы могут быть использованы.

    Читать дальше

    Каково числовое значение алгебраических выражений?

    Это результат, полученный после подстановки переменных выражения в значения для завершения операций.

    Читать дальше

    Как решается квадрат бинома?

    Он равен квадрату первого слагаемого, добавляя двойное произведение первого ко второму плюс второй квадрат. (a + b) 2 = a2 + 2 · a · b + b2

    Читать дальше

    Как определить одночлен и многочлен?

    В мономе есть только одна переменная, вместо этого многочлены имеют между двумя и более переменными.

    Читать дальше

    Рекомендуем

    sialorrhoea
    2020
    отлично
    2020
    Abastecimiento
    2020